九州大学 2006年度理系数学第2問解答・解説

問題

$△ O A B$ において，辺 $O B$ の中点を $M$ ，辺 $A B$ を $α : 1 - α$ に内分する点を $P$ とする．ただし， $0 < α < 1$ とする．線分 $O P$ と $A M$ の交点を $Q$ とし， $Q$ を通り，線分 $A M$ に垂直な直線が，辺 $O A$ またはその延長と交わる点を $R$ とする． $O A = a$ ， $O B = b$ として，次の問いに答えよ．

(1) ベクトル $O P$ と $O Q$ を $a$ ， $b$ および $α$ を用いて表せ．

(2) $∣ a ∣ = 2$ ， $∣ b ∣ = 3$ ， $∠ A O B = θ$ で $cos θ = \frac{1}{6}$ とする．このとき，ベクトル $O R$ を $a$ と $α$ を用いて表せ．

(3) (2)の条件のもとで，点 $R$ が辺 $O A$ の中点であるときの $α$ の値を求めよ．

出典：九州大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

まず内分点 $P$ を $a, b$ で表し、交点 $Q$ は $O P$ 上の表し方と $A M$ 上の表し方を係数比較して求める。(2)では $R$ が $O A$ またはその延長上にあるので $O R = λ a$ とおき、 $QR ⊥ A M$ を $(O R - O Q) \cdot (b /2 - a) = 0$ と翻訳する。与えられた長さと角から $a \cdot b = 1$ を出し、係数 $λ$ を決める。最後は $R$ が中点である条件を $λ = 1/2$ として解く。座標で確認する別解も自然だが、主解では問題の指定どおりベクトルの係数比較で通す。

解答

(1)

点 $P$ は辺 $A B$ を $α : 1 - α$ に内分するので、

O P = (1 - α) a + α b

である。

点 $Q$ は直線 $O P$ 上にあるから、ある実数 $s$ を用いて

O Q = s {(1 - α) a + α b}

と書ける。一方、 $M$ は $O B$ の中点であるから $O M = \frac{1}{2} b$ であり、 $Q$ は直線 $A M$ 上にもあるので、ある実数 $u$ を用いて

O Q = (1 - u) a + \frac{u}{2} b

と書ける。

係数を比較すると $s (1 - α) = 1 - u, s α = \frac{u}{2}$ である。第2式から $u = 2 s α$ であり、これを第1式に代入すると $s (1 - α) = 1 - 2 s α$ すなわち $s (1 + α) = 1$ である。したがって $s = \frac{1}{1 + α}$ となり、

O Q = \frac{1 - α}{1 + α} a + \frac{α}{1 + α} b

である。

(2)

条件より

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6} = 1

である。また

a \cdot a = 4, b \cdot b = 9

である。

点 $R$ は辺 $O A$ またはその延長上にあるから $O R = λ a$ とおく。直線 $A M$ の方向ベクトルは $A M = \frac{1}{2} b - a$ である。したがって $QR ⊥ A M$ より

(O R - O Q) \cdot (\frac{1}{2} b - a) = 0

である。

ここで

a \cdot (\frac{1}{2} b - a) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 4 = - \frac{7}{2}

であり、

b \cdot (\frac{1}{2} b - a) = \frac{1}{2} \cdot 9 - 1 = \frac{7}{2}

である。また(1)より

O R - O Q = (λ - \frac{1 - α}{1 + α}) a - \frac{α}{1 + α} b

であるから、垂直条件は

- \frac{7}{2} (λ - \frac{1 - α}{1 + α}) - \frac{7}{2} \cdot \frac{α}{1 + α} = 0

となる。よって

λ = \frac{1 - α}{1 + α} - \frac{α}{1 + α} = \frac{1 - 2 α}{1 + α}

である。したがって $O R = \frac{1 - 2 α}{1 + α} a$ である。

(3)

点 $R$ が辺 $O A$ の中点であることは $O R = \frac{1}{2} a$ と同じである。よって(2)の結果から $\frac{1 - 2 α}{1 + α} = \frac{1}{2}$ である。分母は $1 + α > 0$ なので、 $2 (1 - 2 α) = 1 + α$ すなわち $1 = 5 α$ となる。したがって $α = \frac{1}{5}$ である。

別解。座標を置いて(2)を確認することもできる。 $O = (0, 0)$ 、 $A = (2, 0)$ とおく。 $∣ b ∣ = 3$ 、 $a \cdot b = 1$ より、 $B = (1/2, 35 /2)$ としてよい。このとき

P = (2 - \frac{3 α}{2}, \frac{α 35}{2}), M = (\frac{1}{4}, \frac{35}{4})

である。 $Q$ を $O P$ 上で $Q = s P$ 、また $A M$ 上で $Q = A + u (M - A)$ と表すと、 $y$ 座標から $u = 2 s α$ 、 $x$ 座標から $s (2 - \frac{3 α}{2}) = 2 - \frac{7 u}{4}$ である。これに $u = 2 s α$ を代入して $s (2 + 2 α) = 2$ となるので、 $s = 1/ (1 + α)$ である。

直線 $A M$ の傾きは $\frac{35 /4}{1/4 - 2} = - \frac{35}{7}$ だから、これに垂直な直線の傾きは $7/ 35$ である。 $R = (2 λ, 0)$ とおくと、 $QR$ の傾きが $7/ 35$ であることから

\frac{- α 35 / { 2 ( 1 + α )}}{2 λ - ( 4 - 3 α ) / { 2 ( 1 + α )}} = \frac{7}{35}

である。両辺を整理すると $- 5 α = 4 λ (1 + α) - (4 - 3 α)$ となり、 $λ = \frac{1 - 2 α}{1 + α}$ を得る。ゆえに同じく

O R = λ a = \frac{1 - 2 α}{1 + α} a

である。

九州大学 2006年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2006年度
理系数学第2問