問題
次の問いに答えよ．ただし，であること，また，は自然定数の底で，であることを用いてよい．
(1) 自然数に対して，方程式はの範囲にちょうど2つの実数解をもつことを示せ．
(2) (1)の実数解を， とするとき，，が成り立つことを示せ．また，を求めよ．
出典：九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
関数 の符号と増減をまず完全に整理する。 では左辺が負なので解がなく、 から最大点 までの増加区間と、 以後の減少区間でそれぞれ1解ずつあることを示す。評価では、 を 、、 の確認に使い、単調性の向きに注意して と の範囲を決める。最後は からはさみうちで極限を求める。
解答
(1)
とおく。 では であるから であり、右辺 は正なので、この範囲には解はない。 で である。したがって は で増加し、 で減少する。また である。
ここで より が成り立つ。よって増加区間 では、値が から まで増えるので、方程式 はただ1つの解をもつ。また減少区間 では、値が から に近づくので、ここにもただ1つの解をもつ。以上より、 の範囲に解はちょうど2つある。
(2)
(1)より、小さい方の解 は にある。さらに である。 だから となる。 は で増加し、、 であるから、交点は と の間にある。したがって である。
次に大きい方の解 を考える。 であり、 である。これが より大きいことは すなわち と同値である。自然数 について であり、 だから、この不等式は成り立つ。 は で減少する。したがって でまだ右辺より大きいなら、右辺と等しくなる点はその右側にある。ゆえに である。
最後に で、 であるから、はさみうちにより である。