九州大学 2000年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ とおく。点 $A(1,0)$、$B(2,0)$ に対して $AP=\sqrt{(r\cos \theta -1{)}^2+r^2{\sin }^2\theta }=\sqrt{r^2-2r\cos \theta +1}$ であり、$BP=\sqrt{(r\cos \theta -2{)}^2+r^2{\sin }^2\theta }=\sqrt{r^2-4r\cos \theta +4}$ である。

角 $OPA$ は、点 $P$ から見た $PO$ と $PA$ のなす角である。ベクトルを用いると

なので

である。同様に $\cos \angle OPB=\frac{r-2\cos \theta }{\sqrt{r^2-4r\cos \theta +4}}$ である。

(2)

$\theta$ を固定し、半直線 $l$ 上で $r$ を動かす。関数 $L(r)=AP+BP$ を考えると $L(r)=\sqrt{r^2-2r\cos \theta +1}+\sqrt{r^2-4r\cos \theta +4}$ である。微分すると $L^{\prime }(r)=\frac{r-\cos \theta }{AP}+\frac{r-2\cos \theta }{BP}$ である。これは(1)の結果より $L^{\prime }(r)=\cos \angle OPA+\cos \angle OPB$ である。$L(r)$ は十分大きい $r$ で増加し、最小点では微分係数が0になる。したがって必要十分条件は $\cos \angle OPA+\cos \angle OPB=0$ である。

(3)

(2)の条件は $\frac{r-\cos \theta }{AP}=-\frac{r-2\cos \theta }{BP}$ である。両辺を2乗して $(r-\cos \theta {)}^{2}B{P}^2=(r-2\cos \theta {)}^{2}A{P}^2$ を得る。ここに $A{P}^2=r^2-2r\cos \theta +1,B{P}^2=r^2-4r\cos \theta +4$ を代入して整理すると $(3r-4\cos \theta )(r^2-4r\cos \theta +2+2{\cos }^2\theta )=0$ となる。後ろの因子は $(r-2\cos \theta {)}^2+2(1-{\cos }^2\theta )>0$ であるから $r=\frac{4}{3}\cos \theta$ である。

(4)

(3)より

である。したがって $y^2=\frac{16}{9}{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =\frac{4}{3}x-x^2$ である。よって ${\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+y^2=\frac{4}{9}$ を得る。 $0^{\circ }<\theta \leqq 90^{\circ }$ では $\sin \theta >0$ または端点で0、$\cos \theta \geqq 0$ であるから、軌跡はこの円の上半分で、$0\leqq x<\frac{4}{3},y\geqq 0$ にある部分である。$\theta \to 0^{\circ }+$ では点は $(4/3,0)$ に近づくが、その点は含まれない。$\theta =90^{\circ }$ では原点 $(0,0)$ になる。