問題
放物線を考える．座標が
で表される放物線上の点をそれぞれ，とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点および点における放物線の法線の交点をとするとき，点の座標をの関数として表せ．
(2) 点の軌跡の概形を描け．
(3) 点の軌跡と軸によって囲まれる領域を軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．
出典：九州大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
放物線 の における法線をまず一般式で書く。ただし の場合も含めて扱えるよう、接線の傾き から法線方程式を整理しておく。、 の2本を連立し、交点 を で表す。軌跡は 、 から増減を読み、体積は 軸まわりなので を媒介変数で計算する。
解答
(1)
放物線 の における接線の傾きは である。したがって のとき法線の傾きは であり、法線は である。両辺を整理すると となり、この形は のときにも法線 を表している。
ここで とする。2本の法線は および である。2式を引くと である。 だから より である。これを一方の法線へ代入すると となる。したがって である。
(2)
である。 のとき であり、 のとき である。また は を満たすので、 で最大となる。このとき である。したがって軌跡は から右へふくらみ、 で最も右に出て、 に戻る曲線である。
(3)
軌跡と 軸で囲まれる領域を 軸のまわりに回転するので、断面半径を として である。媒介変数 を用いると である。よって
である。 とおくと なので である。計算して
だから である。