問題
複素数に対し，とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，，は正の整数である．
(1) が実数となるようなの集合を複素数平面上で示せ．
(2) をみたすの値を，とし，複素数平面で，に対応する点を，とする．原点と点，点を結ぶ三角形が正三角形となるための，の値を求めよ．
出典：九州大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
(1)は とおき、 の虚部を計算して が実数となる条件を出す。実軸と、中心 、半径1の円が現れるが、 は定義できないので除外する。(2)は を2次方程式に直し、根 の和と積を使う。正三角形条件から かつ2根が実軸対称になるため、 を得て、正の整数解を絞る。
解答
(1)
とおく。ただし である。このとき である。したがって の虚部は である。これが0となる条件は である。よって または である。
したがって求める集合は、実軸上の点全体から を除いたものと、中心 、半径1の円である。ただし式 は では定義されないので、その点は除く。
(2)
は である。両辺に を掛けると すなわち である。根を とすると、解と係数の関係より である。
係数は実数なので、虚数解が現れるときは共役な2根である。三角形 が正三角形であるためには、 は原点から同じ距離にあり、実軸に関して対称で、なす角が でなければならない。原点からの距離を とすると であり、また2点の実部は なので である。したがって となる。これより である。整理すると を得る。 は正の整数である。もし または なら左辺は3を超えるので、候補は の範囲に限られる。実際に調べると
である。よって求める値は である。