九州大学 1996年度文系数学第3問解答・解説

問題

実数 $α$ と $β$ は $α ≦ β$ ， $α \neq = 0$ ， $β > 0$ を満たし

f (x) = \frac{3}{α β} (x - α) (x - β), F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

とする．次の問に答えよ．

(1) $\int_{0}^{β} ∣ f (x) ∣ d x$ を $F (α)$ と $F (β)$ で表せ．

(2) $α = β^{2}$ のとき， $\int_{0}^{β} ∣ f (x) ∣ d x$ を最小にする $β$ を求めよ．

出典：九州大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

絶対値の外し方は $α < 0$ と $α > 0$ で変わる。符号を区間ごとに確認して $F (α)$ 、 $F (β)$ で表す。 $α = β^{2}$ では $0 < β ≦ 1$ を先に確認し、得られる三次式を微分して、端点も含めて最小を判定する。

解答

(1)

まず $α < 0$ の場合を考える。このとき $0 ≦ x ≦ β$ では $x - α > 0, x - β ≦ 0, α β < 0$ である。したがって $f (x) ≧ 0$ となるから $\int_{0}^{β} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{0}^{β} f (x) d x = F (β)$ である。

次に $α > 0$ の場合を考える。条件 $α ≦ β$ と $β > 0$ より $0 < α ≦ β$ である。このとき

f (x) ≧ 0 (0 ≦ x ≦ α), f (x) ≦ 0 (α ≦ x ≦ β)

である。よって

\int_{0}^{β} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{0}^{α} f (x) d x - \int_{α}^{β} f (x) d x

であり、 $F (0) = 0$ だから

\int_{0}^{β} ∣ f (x) ∣ d x = F (α) - {F (β) - F (α)} = 2 F (α) - F (β)

である。

したがって

\int_{0}^{β} ∣ f (x) ∣ d x = {F (β) 2 F (α) - F (β) (α < 0), (α > 0)

である。

(2)

$α = β^{2}$ とする。条件 $α ≦ β$ 、 $β > 0$ より $β^{2} ≦ β$ だから $0 < β ≦ 1$ である。この場合は $α > 0$ なので、(1) の後半を用いる。

ここで $f (x) = \frac{3}{β ^{3}} (x - β^{2}) (x - β)$ であり、展開して積分すると $F (x) = \frac{x ^{3}}{β ^{3}} - \frac{3 ( β ^{2} + β )}{2 β ^{3}} x^{2} + 3 x$ である。したがって

F (β) = \frac{3 β - 1}{2}, F (β^{2}) = \frac{- β ^{3} + 3 β ^{2}}{2}

となる。よって

I (β) = \int_{0}^{β} ∣ f (x) ∣ d x = 2 F (β^{2}) - F (β) = \frac{- 2 β ^{3} + 6 β ^{2} - 3 β + 1}{2}

である。

これを微分すると

I^{'} (β) = - 3 β^{2} + 6 β - \frac{3}{2} = - 3 {β - (1 - \frac{2}{2})} {β - (1 + \frac{2}{2})}

である。範囲 $0 < β ≦ 1$ に入る臨界点は $β = 1 - \frac{2}{2}$ だけである。 $0 < β < 1 - 2 /2$ では $I^{'} (β) < 0$ 、 $1 - 2 /2 < β ≦ 1$ では $I^{'} (β) > 0$ であるから、この点で最小になる。よって求める値は $β = 1 - \frac{2}{2}$ である。

九州大学 1996年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1996年度
文系数学第3問