九州大学 1996年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x$ 軸の正の部分を始線として，角 $θ$ の動径と，原点 $O$ を中心とする半径1の円との交点を $P$ とする．行列 $(2330)$ で表される1次変換を $f$ とするとき，次の問に答えよ．

(1) ベクトル $f (O P)$ とベクトル $O P$ の内積を $θ$ の関数で表し，その関数の $0 ≦ θ ≦ π$ における最大値と最小値を求めよ．

(2) 上で求めた関数の最大値を与える $θ$ に対して， $f (O P)$ と $O P$ は平行であることを示せ．

出典：九州大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

$P = (cos θ, sin θ)$ と置き、行列で写したベクトルとの内積を三角関数で整理する。 $1 + cos 2 θ + 3 sin 2 θ$ を合成して最大・最小を求め、最大を与える $θ$ で実際に $f (O P) = 3 O P$ となることを成分で確かめる。

解答

(1)

O P = (cos θ sin θ)

である。したがって

f (O P) = (2330) (cos θ sin θ) = (2 cos θ + 3 sin θ 3 cos θ)

である。

よって内積を $g (θ)$ とおくと

g (θ) = (2 cos θ + 3 sin θ) cos θ + 3 cos θ sin θ

であり、整理して $g (θ) = 2 cos^{2} θ + 23 sin θ cos θ$ となる。二倍角の公式を用いると

g (θ) = 1 + cos 2 θ + 3 sin 2 θ = 1 + 2 cos (2 θ - \frac{π}{3})

である。 $0 ≦ θ ≦ π$ のとき、 $2 θ - π /3$ は $- π /3$ から $5 π /3$ まで動く。この範囲で余弦は $1$ も $- 1$ もとる。したがって最大値は $3$ で、これは $2 θ - π /3 = 0$ 、すなわち $θ = π /6$ のときである。最小値は $- 1$ で、これは $2 θ - π /3 = π$ 、すなわち $θ = 2 π /3$ のときである。

(2)

最大値を与えるのは $θ = π /6$ である。このとき

O P = (3 /2 1/2)

である。これを写すと

f (O P) = (2 \cdot \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} 3 \cdot \frac{3}{2}) = (33 /2 3/2) = 3 (3 /2 1/2)

である。したがって $f (O P) = 3 O P$ となり、 $f (O P)$ と $O P$ は平行である。

九州大学 1996年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1996年度
文系数学第2問