問題
1辺の長さが1の正六角形に内接する円の中心をとし，その円周上の点をとする．次の問に答えよ．
(1) ，，とするとき，内接円のベクトル方程式を，，で表せ．
(2) 線分の中点をとする．をとで表せ．
(3) を満たすの値をすべて求めよ．
出典：九州大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
正六角形の隣り合う辺なので 、 をまず固定する。中心 は 、内接円の半径は であるから、円の方程式を内積で表す。(3) は を円の方程式に代入し、二次方程式の解をすべて拾う。
解答
(1)
正六角形の一辺の長さは で、 である。したがって である。
内接円の中心を とすると、正六角形の対称性から である。また内接円の半径は、正三角形を半分にした直角三角形から である。よって が内接円上にある条件は である。
これを内積で展開する。まず なので である。したがって求めるベクトル方程式は である。
(2)
であり、正六角形の頂点の並びから である。 は の中点だから
である。
(3)
条件 より である。ここで より である。また なので である。
これらを (1) の方程式に代入すると であり、両辺を 倍して を得る。したがって であるから である。
別解。座標を 、、 と置くと、中心は 、 である。直線 上の点を として円 に代入すると、同じく が得られる。