九州大学 1995年度文系数学第3問解答・解説

問題

3次曲線

C : y = f (x) = x^{3} - 3 x

について次の問に答えよ．

(1) $t \neq = 0$ に対して， $C$ 上の点 $(t, f (t))$ を通り，他の点で $C$ に接する直線を $L$ とする．このとき，この接点の $x$ 座標を $t$ で表し， $L$ の方程式を求めよ．

(2) 曲線 $C$ と，直線 $L$ とで囲まれる部分の面積 $S (t)$ を求めよ．

出典：九州大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

接点の $x$ 座標を $u$ とおき、 $y = x^{3} - 3 x$ の接線が別の曲線上の点 $(t, f (t))$ を通る条件を立てる。条件式は $(t - u)^{2} (t + 2 u) = 0$ と因数分解でき、 $u \neq = t$ より接点が決まる。面積は曲線と接線の差を因数分解し、符号に注意して絶対値つきで積分する。

解答

(1)

接点の $x$ 座標を $u$ とする。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ であるから、 $x = u$ における接線は $y = (3 u^{2} - 3) (x - u) + u^{3} - 3 u$ である。整理すると $y = (3 u^{2} - 3) x - 2 u^{3}$ となる。

この直線が $(t, f (t)) = (t, t^{3} - 3 t)$ を通るので $t^{3} - 3 t = (3 u^{2} - 3) t - 2 u^{3}$ である。整理すると $t^{3} - 3 u^{2} t + 2 u^{3} = 0$ であり、これは $(t - u)^{2} (t + 2 u) = 0$ と因数分解できる。

問題では $(t, f (t))$ とは他の点で接するとされているので、 $u = t$ ではない。したがって $u = - \frac{t}{2}$ である。よって接線の傾きは $3 u^{2} - 3 = \frac{3}{4} t^{2} - 3$ であり、切片は $- 2 u^{3} = \frac{1}{4} t^{3}$ である。したがって $L : y = (\frac{3}{4} t^{2} - 3) x + \frac{1}{4} t^{3}$ である。

(2)

曲線と直線の差を計算すると $f (x) - L (x) = x^{3} - 3 x - {(\frac{3}{4} t^{2} - 3) x + \frac{1}{4} t^{3}}$ であり、整理して $f (x) - L (x) = \frac{1}{4} (x - t) (2 x + t)^{2}$ となる。交点は $x = t$ と $x = - t /2$ であり、 $x = - t /2$ では接しているので重なっている。

面積は符号に注意して $S (t) = \int_{- t /2}^{t} \frac{1}{4} (x - t) (2 x + t)^{2} d x$ である。積分を実行すると $\int \frac{1}{4} (x - t) (2 x + t)^{2} d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{8} t^{2} x^{2} - \frac{1}{4} t^{3} x$ であるから $\int_{- t /2}^{t} \frac{1}{4} (x - t) (2 x + t)^{2} d x = - \frac{27}{64} t^{4}$ となる。したがって $S (t) = \frac{27}{64} t^{4}$ である。

別解。面積計算では $x = t u$ とおくと、 $t$ への依存を最初から分離できる。 $f (x) - L (x) = \frac{1}{4} (x - t) (2 x + t)^{2}$ より $S (t) = \frac{∣ t ∣ ^{4}}{4} \int_{- 1/2}^{1} (u - 1) (2 u + 1)^{2} d u$ である。括弧内の積分は $- 27/16$ なので、同じく $S (t) = \frac{27}{64} t^{4}$ を得る。

九州大学 1995年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1995年度
文系数学第3問