九州大学 1995年度
文系数学 第2問

解答

(1)

放物線 $y=x^2$ の $x=a$ における接線は $y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2$ である。したがって、この接線と $x$ 軸との交点 $P$ は $P=\left(\frac{a}{2},0\right)$ である。

直線 $AP$ はこの接線そのものであり、傾きは $2a$ であるから $\tan \theta =2a$ である。よって $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }=\frac{4a}{1-4a^2}$ である。ただし問題で $a\ne \pm 1/2$ とされているので分母は $0$ ではない。

直線 $L$ は点 $P$ を通り、傾き $\tan 2\theta$ をもつから $L:y=\frac{4a}{1-4a^2}\left(x-\frac{a}{2}\right)$ である。

(2)

$m=\frac{4a}{1-4a^2}$ とおく。直線 $L$ と放物線 $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $x^2=m\left(x-\frac{a}{2}\right)$ すなわち $x^2-mx+\frac{ma}{2}=0$ の2根である。この2根がともに $m$ より小さい条件を調べるため、$x=u+m$ とおく。すると $(u+m{)}^2-m(u+m)+\frac{ma}{2}=0$ より $u^2+mu+\frac{ma}{2}=0$ である。

もとの2根がともに $m$ より小さいことは、この $u$ の2根がともに負であることと同値である。二次方程式 $u^2+mu+ma/2=0$ の2根がともに負であるための条件は $\text{和}<0,\text{積}>0$ である。よって $-m<0,\frac{ma}{2}>0$ すなわち $m>0,ma>0$ が必要十分である。

ここで $m=\frac{4a}{1-4a^2}$ であるから、$ma>0$ より $1-4a^2>0$ が必要である。このもとで $m>0$ は $a>0$ と同値である。したがって $0<a<\frac{1}{2}$ である。

別解。(2)では二次方程式のグラフで判定してもよい。$F(x)=x^2-mx+ma/2$ とする。交点の2つの $x$ 座標がともに $m$ より小さいためには、軸 $x=m/2$ が $m$ より左にあり、かつ $F(m)>0$ で、2根が実数であることを確認すればよい。ここでも条件は結局 $m>0$ と $ma>0$ にまとまり、同じく $0<a<1/2$ を得る。