九州大学 1990年度理系数学第5問解答・解説

問題

数直線上を，時刻 $t = 0$ に原点 $O$ を出発して，次の速度 $v (t)$ で運動している点 $P$ がある．

v (t) = t - 3 (0 ≦ t ≦ 8 のとき)

v (t) = 5 e^{8 - t} (t ≧ 8 のとき)

(1) $P$ がもっとも左にくるときの時刻と，その位置を求めよ．

(2) 時刻 $t$ における $P$ の位置を $p (t)$ とするとき， $t \to \infty lim p (t)$ を求めよ．

出典：九州大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

位置 $p (t)$ は速度の積分で求める。まず $0 ≦ t ≦ 8$ では $v (t) = t - 3$ の符号が $t = 3$ で変わるので、そこが最も左の候補になる。位置は $\int_{0}^{t} v (s) d s$ で計算する。(2) は $p (8)$ を求め、その後に加わる移動量 $\int_{8}^{\infty} 5 e^{8 - t} d t$ を足す。

解答

(1)

$0 ≦ t ≦ 8$ では $v (t) = t - 3$ である。したがって $0 < t < 3$ では $v (t) < 0$ なので点 $P$ は左へ動き、 $3 < t ≦ 8$ では $v (t) > 0$ なので右へ動く。 $t ≧ 8$ では $v (t) = 5 e^{8 - t} > 0$ であり、やはり右へ動く。よって最も左にくる時刻は $t = 3$ である。

その位置は、時刻 $0$ の位置が $0$ であるから $p (3) = \int_{0}^{3} (t - 3) d t = [\frac{t ^{2}}{2} - 3 t]_{0}^{3} = - \frac{9}{2}$ である。

(2)

まず $p (8) = \int_{0}^{8} (t - 3) d t = [\frac{t ^{2}}{2} - 3 t]_{0}^{8} = 32 - 24 = 8$ である。時刻 $8$ 以後にさらに進む距離は $\int_{8}^{\infty} 5 e^{8 - t} d t = 5 [- e^{8 - t}]_{8}^{\infty} = 5$ である。したがって $lim_{t \to \infty} p (t) = 8 + 5 = 13$ である。

九州大学 1990年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1990年度
理系数学第5問