問題
平面上の2点，に対して，1次変換を考える．原点を中心とする単位円をとする．
(1) ，がともに上にあり，ベクトルとが直交するとき，この1次変換は上の任意の点を上に移すことを示せ．
(2) 逆に，この1次変換が上の任意の点を上に移すならば，，はともに上の点であり，かつベクトルとは直交していることを示せ．
出典：九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
行列の第1列、第2列をそれぞれ 、 と見て、単位円上の点 の移り先を と表す。(1) は2つの列ベクトルが長さ1で直交することから、移り先の長さが に等しいことを示す。(2) は単位円上の特別な点 、、 を代入し、列ベクトルの長さと内積を取り出す。
解答
(1)
とおく。単位円上の点 は を満たす。この点の移り先は である。
仮定より
である。したがって移り先の長さの2乗は
である。よって単位円 上の任意の点は、再び 上の点へ移る。
(2)
逆に、単位円 上の任意の点が 上の点へ移るとする。
まず は に移るので である。したがって は 上にある。同様に は に移るので であり、 も 上にある。
さらに、単位円上の点 を考える。この点の移り先は であり、これも単位円上にあるので である。すでに得た 、 を代入すると だから である。これは を意味する。よって と は直交している。