九州大学 1990年度理系数学第4問解答・解説

問題

楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上の第1象限内の点 $P$ においてこの楕円に引いた接線が点 $(4, 0)$ を通るとする．

(1) 点 $P$ の座標を求めよ．

(2) $O$ を原点， $A$ を楕円の頂点 $(2, 0)$ とする．第1象限において，線分 $O A$ ， $O P$ および楕円の弧 $A P ⌢$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：九州大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

楕円の接線公式を使い、接線が $(4, 0)$ を通る条件から接点 $P$ を決める。面積は、 $0 ≦ x ≦ 1$ では線分 $O P$ の下、 $1 ≦ x ≦ 2$ では楕円の上半分の下として分けて積分する。楕円の積分は $x = 2 cos θ$ とおくと簡単になる。別解として、楕円は単位円を横に2倍したものなので、対応する円の扇形面積を2倍して同じ面積を確認できる。

解答

(1)

楕円上の点を $P (x_{0}, y_{0})$ とする。楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ の $P$ における接線は $\frac{x _{0} x}{4} + y_{0} y = 1$ である。これが点 $(4, 0)$ を通るので $\frac{x _{0} \cdot 4}{4} = 1$ より $x_{0} = 1$ である。 $P$ は第1象限内にあるから $y_{0} > 0$ であり、楕円の式から $\frac{1}{4} + y_{0}^{2} = 1$ より $y_{0} = \frac{3}{2}$ である。したがって $P (1, \frac{3}{2})$ である。

(2)

直線 $O P$ の方程式は $y = \frac{3}{2} x$ である。求める部分は、 $0 ≦ x ≦ 1$ ではこの直線の下、 $1 ≦ x ≦ 2$ では楕円の上半分 $y = 1 - \frac{x ^{2}}{4}$ の下にある。よって面積は $\int_{0}^{1} \frac{3}{2} x d x + \int_{1}^{2} 1 - \frac{x ^{2}}{4} d x$ である。

第1項は $\int_{0}^{1} \frac{3}{2} x d x = \frac{3}{4}$ である。第2項では $x = 2 cos θ$ とおく。 $x = 2$ のとき $θ = 0$ 、 $x = 1$ のとき $θ = π /3$ であり、 $d x = - 2 sin θ d θ$ だから

\int_{1}^{2} 1 - \frac{x ^{2}}{4} d x = 2 \int_{0}^{π /3} sin^{2} θ d θ = 2 [\frac{θ}{2} - \frac{sin 2 θ}{4}]_{0}^{π /3} = \frac{π}{3} - \frac{3}{4}

である。したがって求める面積は

\frac{3}{4} + (\frac{π}{3} - \frac{3}{4}) = \frac{π}{3}

である。

別解。変換 $x = 2 X$ 、 $y = Y$ により、この楕円は単位円 $X^{2} + Y^{2} = 1$ に対応する。点 $A (2, 0)$ は $(1, 0)$ 、点 $P (1, 3 /2)$ は $(1/2, 3 /2)$ に対応し、単位円では中心角が $π /3$ の扇形になる。面積は横方向に2倍されるので、求める面積は $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{3}$ である。

九州大学 1990年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1990年度
理系数学第4問