九州大学 1982年度文系数学第4問解答・解説

問題

3次関数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ （ $a$ ， $b$ は実数）は $x = α$ で極大値33， $x = β$ $(> 0)$ で極小値1をとるとする．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1) $a$ ， $b$ ， $α$ ， $β$ の値を求めよ．

(2) 曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = 1$ で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：九州大学 1982年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

極小値が $1$ である点 $β$ では $f (β) = 1$ かつ $f^{'} (β) = 0$ が成り立つ。この二式から $a = - 2 β$ 、 $b = β^{2}$ を得て、もう一方の停留点 $α = \frac{β}{3}$ を求める。極大値33の条件で $β$ を決める。面積は、直線 $y = 1$ との交点が $x = 0, 6$ であることを確認し、 $\int_{0}^{6} (f (x) - 1) d x$ を計算する。

解答

(1)

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ であるから $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b .$ $x = β$ で極小値1をとるので $f (β) = 1, f^{'} (β) = 0$ である。まず $f (β) = 1$ より $β^{3} + a β^{2} + b β = 0.$ $β > 0$ だから $β$ で割って $β^{2} + a β + b = 0$ を得る。また $f^{'} (β) = 0$ より $3 β^{2} + 2 a β + b = 0.$ 二つの式を引くと $2 β^{2} + a β = 0$ であり、 $β > 0$ なので $a = - 2 β .$ これを $β^{2} + a β + b = 0$ に代入して $b = β^{2}$ を得る。

したがって $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 β x + β^{2} .$ これは $f^{'} (x) = (x - β) (3 x - β)$ と因数分解できる。よってもう一方の停留点は $α = \frac{β}{3} .$ この点で極大値33をとるので $f (\frac{β}{3}) = 33.$ $a = - 2 β, b = β^{2}$ を用いて計算すると $f (\frac{β}{3}) = 1 + \frac{4 β ^{3}}{27} .$ したがって $1 + \frac{4 β ^{3}}{27} = 33$ であり、 $β^{3} = 216.$ $β > 0$ より $β = 6.$ したがって $α = 2, a = - 12, b = 36.$ (2)

(1)より $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x + 1$ である。したがって $f (x) - 1 = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x = x (x - 6)^{2} .$ 直線 $y = 1$ との交点は $f (x) - 1 = 0$ より $x = 0, x = 6$ である。 $0 ≦ x ≦ 6$ では $x (x - 6)^{2} ≧ 0$ なので、曲線は直線 $y = 1$ の上側にある。

したがって囲まれた図形の面積は $\int_{0}^{6} x (x - 6)^{2} d x$ である。展開して $x (x - 6)^{2} = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$ だから $\int_{0}^{6} x (x - 6)^{2} d x = [\frac{x ^{4}}{4} - 4 x^{3} + 18 x^{2}]_{0}^{6} .$ 計算すると $\frac{6 ^{4}}{4} - 4 \cdot 6^{3} + 18 \cdot 6^{2} = 324 - 864 + 648 = 108.$ よって面積は $108$ である。

別解の視点

極大点 $x = 2$ は面積の積分区間の端点ではない。直線 $y = 1$ との交点を求めると $x = 0, 6$ であり、 $x = 6$ は極小点で接している。囲まれた領域は $0 ≦ x ≦ 6$ 全体であるため、ここを取り違えないことが重要である。

九州大学 1982年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

別解の視点

九州大学 1982年度
文系数学第4問