問題
次の(1)，(2)，(3)に答えよ．
(1) 原点の座標平面上で，次の3つの変換（イ），（ロ），（ハ）をこの順に合成した1次変換を表す行列を書け．
（イ） 点を（は実数）となる点にうつす変換．
（ロ） 軸に関する対称移動．
（ハ） 直線に関する対称移動．
(2) (1)の行列に関して，行列を計算せよ．ただし，は2次の単位行列である．
(3) (2)の行列で表される1次変換による点の像を点とするとき，を証明せよ．
出典：九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
三つの変換をそれぞれ行列で表し、問題文の順序どおり右から作用するように掛ける。得られる は であり、 は常に逆行列をもつ。(2)は行列積を直接計算する。(3)は得られた行列の二つの列ベクトルが長さ1で互いに垂直であることを成分で確認し、任意の点の原点からの距離が保たれることを示す。
解答
{(1) 各変換の行列は順に
である。作用する順に右から掛けるので
(2)
したがって
(3)
(2)の行列を とおく。転置行列との積を直接計算すると
点 の位置ベクトルを 、像 の位置ベクトルを とすれば
両辺は非負なので である。}