九州大学 1982年度
文系数学 第2問

解答

(1)

有理数 $\alpha$ を既約分数 $\alpha =\frac{m}{n}(n>0)$ で表す。ここで $m,n$ は互いに素である。 $f(\alpha )=0$ より

両辺に $n^3$ を掛けると $m^3+a{m}^{2}n+bm{n}^2+c{n}^3=0.$ したがって $m^3=-n(a{m}^2+bmn+c{n}^2).$ 右辺は $n$ で割り切れるので、$n$ は $m^3$ を割り切る。ところが $m,n$ は互いに素であるから、$n$ が $m^3$ を割り切るには $n=1$ でなければならない。よって $\alpha =m$ は整数である。

(2)

もし方程式 $f(x)=0$ が有理数の解をもつなら、(1)より整数解 $m$ をもつ。

整数 $m$ は、$1,2,\dots ,k$ のいずれか一つと $k$ で割った余りが同じである。すなわち、ある $r$ が存在して $r=1,2,\dots ,k,m\equiv r(\mathrm{mod}k)$ となる。

整式 $f(x)$ の係数はすべて整数なので、合同な整数を代入した値も合同である。したがって $f(m)\equiv f(r)(\mathrm{mod}k).$ ところが $m$ は解であるから $f(m)=0.$ よって $f(r)\equiv 0(\mathrm{mod}k)$ となり、$f(r)$ は $k$ で割り切れる。これは $f(1),f(2),\dots ,f(k)$ のどれも $k$ で割り切れないという仮定に反する。

したがって方程式 $f(x)=0$ は有理数の解をもたない。

別解の視点

(1)は最高次係数が1である整数係数多項式の有理数解の基本性質である。(2)では、整数解があれば必ず $1,\dots ,k$ のどれかと同じ余りをもつ、という剰余類の考え方に移すと矛盾が作りやすい。