問題
，を空間におけるベクトルとするとき，次の(1)，(2)，(3)に答えよ．
(1) ，の長さ（大きさ），を求めよ．
(2) ととのなす角を求めよ．ただしとする．
(3) 長さ1のベクトルがある．ととのなす角がで，ととのなす角がのとき，を求めよ．
出典：九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
(1), (2) は長さと内積から求める。(3) は と置き、長さ1、 との角、 との角を内積の式に直す。2本の一次式から を で表し、長さ条件に代入して2つの解を得る。
解答
(1)
であり、 である。
(2)
である。したがって、なす角を とすると
である。 より である。
(3)
とおく。長さが であるから である。また と とのなす角が なので
である。よって を得る。さらに と とのなす角が なので
である。よって である。
まず から である。これを に代入すると となり、 である。したがって長さ条件は となる。整理して を得る。よって である。
それぞれに対して , を用いると、
または
である。
別解。
(3) では、2つの角条件は が2つの平面 上にあることを意味する。したがって はこの2平面の交線上にあり、さらに単位球面上にもある。交線と単位球面の交点が2つあるため、答えも2つ出ると理解できる。