九州大学 1981年度文系数学第3問解答・解説

問題

次の(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1) 数学的帰納法を用いて，正の整数 $k$ に対して $k! ≧ 2^{k - 1}$ が成立することを示せ．

(2) $1 ≦ k ≦ n$ を満たす整数 $k$ ， $n$ に対して $\frac{_{n} C _{k}}{n ^{k}} ≦ \frac{1}{2 ^{k - 1}}$ が成立することを示せ．

(3) 正の整数 $n$ に対して $(1 + \frac{1}{n})^{n} < 3$ が成立することを示せ．

出典：九州大学 1981年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

(1) で階乗の下からの評価を帰納法で作る。(2) は $_{n} C_{k}$ を積の形にして、分子の各因子が $n$ 以下であることから $1/ k!$ 以下に押さえる。(3) は二項定理で展開し、 $k = 0, 1$ の項を $2$ として分け、残りに (2) と無限等比和の評価を使う。

解答

(1)

$k = 1$ のとき $1! = 1 = 2^{0}$ であり、成立する。 $k = m$ で $m! ≧ 2^{m - 1}$ が成立すると仮定する。このとき $(m + 1)! = (m + 1) m! ≧ (m + 1) 2^{m - 1}$ である。 $m ≧ 1$ だから $m + 1 ≧ 2$ であり、 $(m + 1) 2^{m - 1} ≧ 2 \cdot 2^{m - 1} = 2^{m}$ となる。よって $(m + 1)! ≧ 2^{m}$ である。数学的帰納法により、すべての正の整数 $k$ について $k! ≧ 2^{k - 1}$ が成立する。

(2)

$_{n} C_{k} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !}$ である。ここで分子の $k$ 個の因子はいずれも $n$ 以下であるから $n (n - 1) \dots (n - k + 1) ≦ n^{k}$ である。したがって $\frac{_{n} C _{k}}{n ^{k}} ≦ \frac{1}{k !}$ である。(1) より $k! ≧ 2^{k - 1}$ だから $\frac{1}{k !} ≦ \frac{1}{2 ^{k - 1}}$ であり、 $\frac{_{n} C _{k}}{n ^{k}} ≦ \frac{1}{2 ^{k - 1}}$ が示された。

(3)

二項定理より

(1 + \frac{1}{n})^{n} = k = 0 \sum n \frac{_{n} C _{k}}{n ^{k}} = 1 + 1 + k = 2 \sum n \frac{_{n} C _{k}}{n ^{k}}

である。よって

(1 + \frac{1}{n})^{n} = 2 + k = 2 \sum n \frac{_{n} C _{k}}{n ^{k}}

となる。(2) を用いると $(1 + \frac{1}{n})^{n} ≦ 2 + \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{2 ^{k - 1}}$ である。右辺の有限和は、無限等比級数 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ の一部であり、その和は $1$ である。有限和はこの無限和より小さいので $(1 + \frac{1}{n})^{n} < 2 + 1 = 3$ である。

別解。

(3) では $n = 1$ のとき左辺は $2$ で明らかに $3$ より小さい。 $n ≧ 2$ では上の評価を使うと、残りの項が初項 $1/2$ 、公比 $1/2$ の等比級数の途中までで押さえられる。つまり二項展開を、誘導された不等式で等比級数に置き換えるのが全体の流れである。

九州大学 1981年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

別解。

九州大学 1981年度
文系数学第3問