問題
を正の数とするとき，2次関数
について，次の(1)，(2)，(3)，(4)に答えよ．
(1) 放物線と軸との交点を求めよ．
(2) 点における放物線の接線の方程式を求めよ．
(3) (2)で求めた接線と軸との交点を求めよ．
(4) 軸，軸，弧 ，および線分で囲まれた図形の面積をで表せ．ただし，は原点とする．
出典：九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1) から (3) は , , 接線の 切片を順に求める。(4) の面積は、 では放物線の下の面積、 では接線の下の三角形の面積に分ける。点 が放物線上にあることも確認しておくと、図形のつながりが明確になる。
解答
(1)
軸との交点では である。したがって より である。
(2)
まず なので、点 は放物線上にある。また であるから、 における接線の傾きは である。よって接線は すなわち である。
(3)
接線と 軸との交点では であるから である。 より両辺を で割ることができ、 となる。したがって である。
(4)
図形 は、 では放物線 の下側、 では線分 の下側で囲まれる。したがって である。第2項は、底辺 、高さ の直角三角形 と 軸で囲まれる部分の面積である。
計算すると
である。よって である。
別解。
(4) の後半部分は、接線の式を積分して としてもよい。この積分値は となり、三角形の面積で処理した結果と一致する。