問題
はを満たす実数とする．2つの関数とのグラフの，の部分が囲む領域をとする．軸のまわりにを1回転してできる立体の体積を求めよ．
出典：京都大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
2曲線の差は で，区間内では上下関係が一定である。ただし，回転体の断面は，2曲線の間の縦線分が 軸をまたぐかどうかで変わる。 と では上下の曲線が符号反転するだけなので体積は同じであり， として計算する。対称性で の半分を考え， は円板， は環状断面として積分する。
解答
まず である。 では ，また では なので，常に である。
ここで とおく。 を に替えると， となり，領域は 軸に関して反転するだけである。したがって， 軸まわりの回転体の体積は変わらない。よって として計算すればよい。
このとき領域は原点に関して対称である。実際， を に替えると2つの関数は符号を変えて入れ替わる。したがって，体積は の部分を計算して2倍すればよい。 では であり，縦線分は 軸をまたぐ。このとき外側の半径は である。なぜなら だからである。よって断面積は である。
一方， では2つの値はともに0以上であるから，断面は環状になる。断面積は である。ここで を用いると， である。
したがって体積 は
である。
第1の積分は， とおくと である。 より
である。
第2の積分は
である。
よって
である。 を用いて整理すると，括弧内は となる。したがって である。ただし である。