京都大学 2026年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ は正の整数とする．整数係数の多項式

(x + 1)^{2^{n + 1}} - (x^{2} + 1)^{2^{n}}

のすべての係数が $2^{m}$ で割り切れるような正の整数 $m$ のうち，最大のものは $n + 1$ であることを示せ．

出典：京都大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

$(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ として，差を ${(x^{2} + 1) + 2 x}^{2^{n}} - (x^{2} + 1)^{2^{n}}$ に直し，二項展開する。各項には $_{2^{n}} C_{j} (2 x)^{j}$ が含まれるので，この係数部分が少なくとも $2^{n + 1}$ で割り切れることを示す。上限については， $x$ の係数が $2^{n + 1}$ ちょうどであることを見れば，すべての係数が $2^{n + 2}$ で割り切れることはない。

解答

$N = 2^{n}$ とおく。与えられた多項式は $(x + 1)^{2^{n + 1}} - (x^{2} + 1)^{2^{n}} = {(x + 1)^{2}}^{N} - (x^{2} + 1)^{N}$ である。ここで $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1 = (x^{2} + 1) + 2 x$ だから，二項定理より

{(x^{2} + 1) + 2 x}^{N} - (x^{2} + 1)^{N} = j = 1 \sum N_{N} C_{j} (2 x)^{j} (x^{2} + 1)^{N - j}

である。

まず，この多項式のすべての係数が $2^{n + 1}$ で割り切れることを示す。 $1 ≦ j ≦ N$ とし， $j$ を割り切る最大の2の累乗を $2^{q}$ とする。すなわち $j = 2^{q} u$ とおく。ただし $u$ は奇数である。

次に $_{2^{n}} C_{j} = \frac{2 ^{n}}{j}_{2^{n} - 1} C_{j - 1}$ を用いる。ここで $_{2^{n} - 1} C_{j - 1}$ は奇数である。実際，

_{2^{n} - 1} C_{j - 1} = \frac{( 2 ^{n} - 1 ) ( 2 ^{n} - 2 ) \dots ( 2 ^{n} - ( j - 1 ))}{1 \cdot 2 \dots ( j - 1 )}

と書いたとき， $1 ≦ s < 2^{n}$ について， $s$ と $2^{n} - s$ は同じ回数だけ2で割り切れる。したがって分子と分母に含まれる2の個数は等しく，この二項係数は2で割り切れない。

したがって， $_{2^{n}} C_{j}$ は，2の因子をちょうど $2^{n - q}$ だけ含む。よって $_{N} C_{j} (2 x)^{j}$ の係数部分は，少なくとも $2^{n - q} \cdot 2^{j} = 2^{n + j - q}$ で割り切れる。ここで $j ≧ 1$ かつ $2^{q} ≦ j$ であるから，常に $j - q ≧ 1$ が成り立つ。ゆえに $n + j - q ≧ n + 1$ である。

また $(x^{2} + 1)^{N - j}$ は整数係数の多項式なので，これを掛けても $2^{n + 1}$ で割り切れる性質は失われない。したがって，展開後のすべての係数は $2^{n + 1}$ で割り切れる。

次に， $2^{n + 2}$ ではすべての係数が割り切れないことを示す。 $x$ の係数を見る。上の和で， $x$ の1次の項を生むのは $j = 1$ の項だけである。 $j = 1$ の項は $_{N} C_{1} (2 x) (x^{2} + 1)^{N - 1} = 2 N x (x^{2} + 1)^{N - 1}$ であるから， $x$ の係数は $2 N = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n + 1}$ である。これは $2^{n + 2}$ では割り切れない。

以上より，すべての係数は $2^{n + 1}$ で割り切れるが，すべての係数が $2^{n + 2}$ で割り切れるわけではない。したがって，求める最大の $m$ は $n + 1$ である。

京都大学 2026年度理系数学 第3問

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