京都大学 2026年度
理系数学 第1問

解答

$h(x)=x\log \frac{a}{x}$ とおく。$0<x<1$，$a>1$ であるから $\frac{a}{x}>1$ であり，$h(x)>0$ である。また $f(x)=\frac{1}{h(x{)}^2}$ である。

まず $h(x)$ の増減を調べる。微分すると $h^{\prime }(x)=\log \frac{a}{x}-1$ である。また，問題文で与えられた極限を用いると ${\lim }_{x\to +0}h(x)={\lim }_{x\to +0}x(\log a-\log x)=0$ である。さらに ${\lim }_{x\to 1-0}h(x)=\log a$ である。 $a\geqq e$ のとき，$0<x<1$ では $\log \frac{a}{x}>\log a\geqq 1$ である。したがって $h^{\prime }(x)>0$ であり，$h(x)$ は単調増加する。このとき $f(x)=1/h(x{)}^2$ は単調減少するので，水平線 $y=k$ との共有点がちょうど2個になることはない。

次に $1<a<e$ とする。このとき $h^{\prime }(x)=0$ となるのは $\log \frac{a}{x}=1$ すなわち $x=\frac{a}{e}$ である。$1<a<e$ より $0<a/e<1$ である。$h^{\prime }(x)>0$ となるのは $0<x<a/e$，$h^{\prime }(x)<0$ となるのは $a/e<x<1$ なので，$h(x)$ は $x=a/e$ で最大値をとる。その最大値は $h\left(\frac{a}{e}\right)=\frac{a}{e}\log e=\frac{a}{e}$ である。

また $0<\log a<\frac{a}{e}$ である。実際，$u(a)=a/e-\log a$ とおくと，$1<a<e$ で $u^{\prime }(a)=\frac{1}{e}-\frac{1}{a}<0$ であり，$u(e)=0$ だから $u(a)>0$ である。 $y=f(x)$ と $y=k$ が共有点を持つには，まず $k>0$ が必要である。そのとき $f(x)=k$ は $h(x)=\frac{1}{\sqrt{k}}$ と同値である。$1<a<e$ の場合，$h(x)=c$ が $0<x<1$ にちょうど2つの解をもつのは，水平線 $y=c$ が右端の極限値 $\log a$ より上，最大値 $a/e$ より下にあるときである。すなわち $\log a<c<\frac{a}{e}$ である。ここで $c=1/\sqrt{k}$ とおくと $\log a<\frac{1}{\sqrt{k}}<\frac{a}{e}$ である。これを $k$ について解くと $\frac{e^2}{a^2}<k<\frac{1}{(\log a{)}^2}$ である。

したがって，求める実数の組 $(a,k)$ の集合は $\boxed{1<a<e,\frac{e^2}{a^2}<k<\frac{1}{(\log a{)}^2}}$ である。座標平面では，$a$ 軸を横軸，$k$ 軸を縦軸として，$1<a<e$ の範囲で2つの曲線 $k=\frac{e^2}{a^2},k=\frac{1}{(\log a{)}^2}$ の間の開いた領域を図示すればよい。