問題
を奇数とし，整数に対して，
とおく．が16で割り切れるような整数の組が存在するためのの条件を求めよ．
出典：京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
まずが2で割り切れる条件を調べ、がともに偶数でなければならないことを示す。そこでとおき、16で割り切れる条件を括弧内が4で割り切れる条件に変える。あとはの偶奇4通りを調べ、成立するのがともに奇数かつの場合だけであることを示す。最後に具体例で十分性を確認する。
解答
が16で割り切れるなら、特に2で割り切れる。は奇数なので、2で割った余りを考えると である。の偶奇を調べると、が偶数になるのはがともに偶数の場合だけである。
したがって とおける。このとき
である。よってが16で割り切れる条件は である。
の偶奇で調べる。が偶数なら、である。すると左辺はに合同で、が偶数なら2、奇数なら3となり、0にはならない。
が奇数でが偶数なら、左辺は である。は奇数なので、これも0にはならない。
がともに奇数なら である。したがってこの場合に限り、 すなわち のとき成立する。
以上より必要条件はである。逆になら、、すなわちとすれば であり、が4で割り切れるのでは16で割り切れる。
よって求める条件は である。