問題
の2次関数で，そのグラフがのグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ．ただし，2つの関数のグラフがある点で直交するとは，その点が2つのグラフの共有点であり，かつ接線どうしが直交することをいう．
出典：京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
求める二次関数を、との2つの共有点の座標をとおく。はを根にもつ二次式なのでと表せる。各共有点での接線の傾きを計算し、、を立てる。2式の差からまたはに分かれ、それぞれを係数の形へ戻す。
解答
求める二次関数をとし、との2つの共有点の座標をとする。ただしである。共有点がであるから とおける。ここでならとなり共有点が2点に限られないので、である。
微分すると である。したがって である。の接線の傾きはで、でなので、直交条件は である。
この2式を引くと となる。だから である。
まずの場合を考える。であり、直交条件は となる。よってである。とおくとで、 である。このとき だから となる。したがって を得る。
次にの場合を考える。直交条件に代入すると すなわち である。とおくと であるから となる。で和を任意に与えたとき、二次方程式は常に異なる2実根をもつ。よってと書けば である。
以上がすべてである。ただし、同じ二次関数が2つの表示に現れる場合は同一のものとして扱う。