問題
を負の実数とする．平面上で曲線と直線のグラフが接するときのの値を求めよ．このとき，とで囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
曲線はとで別々の二次関数になる。直線の傾きは1なので、各枝で導関数が1になる点を接点候補とし、に合うものだけを残す。面積は、得られた直線と曲線の上下関係を確認し、負側の交点から接点までをで分けて積分する。接点は境界の一端なので、もう一方の交点を取り落とさないことが重要である。
解答
では であり、導関数はである。直線の傾きは1なので、接するなら を満たす。よってであり、この点の座標は である。接線がであるから より を得る。
一方、では であり、導関数はである。傾きが1になる条件は なのでである。この点の座標は であり、からとなる。これはに反する。したがって求めるは である。
このとき直線はである。曲線と直線の差を調べる。では であり、で接する。では であり、交点は から である。このうちにあるのはである。
したがって、囲まれた部分では曲線が直線より上にあり、面積は である。前半はとおくと であり、後半は である。よって面積は である。
別解。
接する条件は、各枝で二次方程式が重解をもつことからも求められる。側では、すなわちが重解をもつので、判別式からを得る。側ではが重解をもつ条件からとなり、やはり除外される。