京都大学 2019年度
文系数学 第3問

解答

与えられた命題は、各実数 $b$ に対して $a{x}^2+bx+c<0$ を満たす実数 $x$ が少なくとも1つ存在する、という意味である。

まず $a<0$ の場合を考える。このとき $a{x}^2+bx+c$ は $|x|$ を十分大きくすると $a{x}^2$ の項が支配的になり、負になる。したがって、どのような実数 $b$ に対しても条件は満たされる。よって $a<0$ は十分条件である。

次に $a=0$ の場合を考える。不等式は $bx+c<0$ となる。$b\ne 0$ なら、$x$ を適当に大きく正または負に取ることで左辺を負にできる。しかし命題はすべての $b$ について成り立つ必要があるので、$b=0$ も考えなければならない。$b=0$ では不等式は $c<0$ となる。したがって $a=0$ のときは $c<0$ が必要十分である。

最後に $a>0$ の場合を考える。命題が成り立つなら、特に $b=0$ に対して $a{x}^2+c<0$ を満たす実数 $x$ が存在しなければならない。ところが $a>0$ なら $a{x}^2\geqq 0$ なので、このためには $c<0$ が必要である。逆に $c<0$ なら、任意の $b$ に対して $x=0$ とすれば $a{x}^2+bx+c=c<0$ となる。よって $a>0$ のときも $c<0$ が必要十分である。

以上をまとめると、求める必要十分条件は「$a<0$ または $c<0$」である。すなわち $\boxed{\{(a,c)\mid a<0\}\cup \{(a,c)\mid c<0\}}$ である。

図示すると、$(a,c)$ 平面において、直線 $a=0$ の左側全体と、直線 $c=0$ の下側全体の和集合である。境界については、$a=0,c<0$ は含み、$a<0,c=0$ も含むが、$a\geqq 0,c=0$ は含まない。