問題
次の各問に答えよ。
問1 は実数とする。に関する整式を整式で割ったときの商を，余りをとする。のの1次の項の係数が1のとき，の値を定め，さらにとを求めよ。
問2 の整数部分は何桁か。また最高位からの2桁の数字を求めよ。例えば，の最高位からの2桁は12を指す。
出典：京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
問1は割る式が3次式なので、商を2次式、余りを2次以下の式として整式の割り算を実行する。余りの1次の係数だけで が決まり、その値を戻して商と余りを確定する。問2は常用対数を用いる。 の整数部分から桁数を、仮数部分から最高位2桁を読む。最高位2桁は が 以上 未満であることを確認して決める。
解答
問1
割られる整式を とおく。 を で割ると
である。したがって である。
余り の1次の項の係数が1であるから であり、 である。これを代入して を得る。
問2
常用対数を用いる。計算すると であるから である。したがって であり、整数部分は18桁である。
次に最高位から2桁を求める。仮数部分を とすると である。ここで であるから、 は の形である。よって最高位からの2桁は である。
別解。問1は を用いて、余りを とおき、 が で割り切れる条件を係数比較で求めてもよい。計算量は整式の割り算とほぼ同じで、余りの1次係数から同じく が得られる。