問題
は実数とし，は正の定数とする。の関数の最小値を求めよ。さらに，の値が変化するとき，の値を横軸に，の値を縦軸にとってのグラフをかけ。
出典：京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
絶対値があるので と に分ける。それぞれ半直線上の2次関数になり、頂点がその半直線内に入るかどうかで最小値が決まる。 では頂点 が非負か、 では頂点 が負かを確認する。最後に2つの側から得られる最小値を比較し、、、 の3区間でまとめる。グラフは中央が0、両側が下向きの放物線になる。
解答
である。
まず の場合を考える。このとき なので である。平方完成すると である。頂点は である。これが に入るのは 、すなわち のときである。したがって における最小値は
である。境界 ではどちらも0である。
次に の場合を考える。このとき なので である。平方完成すると であり、頂点は である。これが に入るのは 、すなわち のときである。したがって 側から得られる最小値は
である。
以上を合わせる。 なので、 と は同時には起こらない。よって全体の最小値 は
である。
グラフは、 で となる水平な線分をもち、 では という点 を頂点とする下向きの放物線、 では という点 を頂点とする下向きの放物線である。