京都大学 2018年度
理系数学 第5問

解答

(1)

曲線 $y=\log x$ の $x=t$ における接線の傾きは $\frac{1}{t}$ である。したがって法線の傾きは $-t$ であり，法線方向のベクトルとして $(1,-t)$ を取れる。$B$ の $x$ 座標は $t$ より大きいので，向きは $(1,-t)$ の向きである。長さ1の単位ベクトルは $\frac{(1,-t)}{\sqrt{1+t^2}}$ であるから，$B=\left(t,\log t\right)+\frac{(1,-t)}{\sqrt{1+t^2}}$ である。よって $u(t)=t+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},v(t)=\log t-\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$ である。

微分すると $\frac{du}{dt}=1-\frac{t}{(1+t^2{)}^{3/2}}$ である。また $\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)=\frac{1}{(1+t^2{)}^{3/2}}$ なので $\frac{dv}{dt}=\frac{1}{t}-\frac{1}{(1+t^2{)}^{3/2}}$ である。

(2)

点 $A$ の速度ベクトルは $\left(1,\frac{1}{t}\right)$ であるから，速さは $\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}=\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}$ である。

次に点 $B$ の速さを求める。$s=\sqrt{1+t^2}$ とおくと，(1)より

である。展開して整理すると

である。$t>0$ で右辺の括弧内は正なので，点 $B$ の速さは $\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}-\frac{1}{1+t^2}$ である。

したがって，$t$ が $r$ から1まで動くときの長さの差は

すなわち $L_1(r)-L_2(r)={\int }_r^1\frac{dt}{1+t^2}$ である。よって ${\lim }_{r\to +0}(L_1(r)-L_2(r))={\int }_0^1\frac{dt}{1+t^2}=\frac{\pi }{4}$ である。