問題
0でない実数，，は次の条件(i)と(ii)を満たしながら動くものとする．
(i) ．
(ii) 2つの放物線とは接している．
ただし，2つの曲線が接するとは，ある共有点において共通の接線をもつことであり，その共有点を接点という．
(1) との接点の座標をとを用いて表せ．
(2) との接点が動く範囲を求め，その範囲を図示せよ．
方針
接点の 座標を とおき，共有点条件と接線の傾き一致を連立する。傾き一致から を得て，共有点条件へ代入すると ，すなわち接点が と表せる。(2)では接点を として ， に戻し，条件 を円板 に変換する。最後に と から除外される点を確認し，逆にその範囲の点から が作れることも示す。
解答
(1)
接点の 座標を とする。 の接線の傾きは であり， の接線の傾きは である。したがって であり， を得る。また共有点条件より である。ここに を用いると となるから である。よって であり，接点の座標は である。
なお，， なので である。また なら傾き一致式から となるため，実際には でもある。
(2)
接点を とおく。(1)より である。 より であり，このとき である。条件(i)は となる。両辺に を掛けて整理すると すなわち である。
さらに は許されない。 なので， を除く必要がある。ただし上の円板上で を満たす点は だけである。したがって候補は である。
逆に，この条件を満たす点 を任意に取る。円板条件と から である。そこで と定める。 なので であり， はいずれも0でない。このとき は円板条件そのものであり， で2つの放物線は接する。よって上の候補はすべて実現する。
したがって接点の動く範囲は，中心 ，半径1の閉円板 から，直線 上の点と点 を除いた部分である。