問題
コインを回投げて複素数を次のように定める．
(i) 1回目に表が出ればとし，裏が出ればとする．
(ii) のとき，回目に表が出ればとし，裏が出ればとする．ただし，はの共役複素数である．
このとき，となる確率を求めよ．
出典：京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
とおくと であり， は の3状態だけを動く。表なら指数が1増え，裏なら共役を取るので指数が符号反転する。この3状態で終わる列の数を として遷移式を作る。初期値から が保たれることを使い， を解いて，最後に全事象数 で割る。
解答
とおく。すると ，， である。したがって は常に のいずれかである。 回後に となる表裏の列の数をそれぞれ とする。表が出ると を掛けるので指数が1増え，裏が出ると共役になるので と が入れ替わり， はそのままである。よって である。
1回目では，裏なら ，表なら であるから である。上の漸化式の第1式と第2式は同じ形なので， から帰納的に である。また全事象数は 通りなので であり， である。したがって を得る。
この漸化式を解く。 であり， である。ここから が成り立つことは帰納法で確認できる。実際，この式が で成り立つとすると
である。
したがって求める確率は である。