問題
整数が書かれている球がいくつか入っている袋に対して，次の一連の操作を考える．ただし各球に書かれている整数は1つのみとする．
(i) 袋から無作為に球を1個取り出し，その球に書かれている整数をとする．
(ii) の場合，整数が書かれた球を1個新たに用意し，取り出した球とともに袋に戻す．
(iii) の場合，袋の中にあった球に書かれていた数の最大値より1大きい整数が書かれた球を1個新たに用意し，取り出した球とともに袋に戻す．
整数0が書かれている球が1個入っており他の球が入っていない袋を用意する．この袋に上の一連の操作を繰り返し回行った後に，袋の中にある球に書かれている個の数の合計をとする．例えばは常に1である．以下として次の問に答えよ．
(1) である確率を求めよ．
(2) である確率を求めよ．
方針
操作後の和は，0を取り出すと新しい最大値が1つ増え，正の数を取り出すとその数がもう1つ増えると考える。(1)のしきい値は最大和 より1だけ小さいので，最大または最大より1小さい操作列だけを数えればよい。(2)では各回で少なくとも1ずつ和が増えるため であり， と になる極端な列を直接数える。確率は，各時刻の袋の中の球数と，該当する数が書かれた球の個数を追って掛け合わせる。
解答
(1)
和を最大にするには，毎回0が書かれた球を取り出せばよい。このとき1回ごとに新しい数が作られ， 回後の正の数は である。したがって最大値は である。問題の条件は であり，最大値より1小さい値以上を求めている。
最大値になるのは， 回すべてで0を取り出す場合だけである。この確率は， 回目の操作直前に袋の中の球が 個あることから である。
次に最大値より1小さい値になる場合を考える。最初の 回で0を取り出すと，袋には0と が1個ずつ入っている。最後に0ではなく と書かれた球を取り出せば，増える値が ではなく になるので，和は最大値より1だけ小さくなる。これ以外で0を取り出さない回がもっと早いと，失う値は2以上になるため条件を満たさない。
この場合の確率は である。よって求める確率は である。
(2)
各操作では新たに入る球の数は少なくとも1であるから，常に である。したがって となるのは， または の場合に限られる。
まず となるには，1回目に0を取り出して1を作り，その後は毎回1と書かれた球を取り出すしかない。2回目以降， 回目の操作直前には袋の中の球が 個あり，そのうち1と書かれた球が 個ある。よって確率は である。
次に となる場合を数える。これは，2回目から 回目までのどこか1回だけ0を取り出して2を作り，それ以外の回では1を取り出す場合に限られる。0を取り出すのが 回目 であるとする。その前までは1を取り出し， 回目に0を取り出し，その後は再び1を取り出すので，その確率は
である。この値は によらない。 は 通りあるから である。
以上より である。