京都大学 2018年度
文系数学 第2問

解答

(1)

座標を $A=(0,0),B=(1,0),D=(0,1)$ とし，$P$ を $P=(1,t)(0<t\leqq 1)$ とおく。線分 $AP$ の傾きは $t$ であり，中点は $\left(\frac{1}{2},\frac{t}{2}\right)$ である。したがって垂直二等分線は $y-\frac{t}{2}=-\frac{1}{t}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ で表される。

この直線と $AB$，すなわち $y=0$ との交点を $Q$ とすると $-\frac{t}{2}=-\frac{1}{t}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ より $Q=\left(\frac{1+t^2}{2},0\right)$ である。また $AD$ またはその延長，すなわち $x=0$ との交点を $R$ とすると $y-\frac{t}{2}=\frac{1}{2t}$ なので $R=\left(0,\frac{1+t^2}{2t}\right)$ である。

よって

である。

ここで $s=\sin \angle BAP$ とおく。直角三角形で $s=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$ だから $1-s^2=\frac{1}{1+t^2}$ である。したがって $s(1-s^2)=\frac{t}{(1+t^2{)}^{3/2}}$ であり，$QR=\frac{1}{2s(1-s^2)}$ である。

(2)

(1)の式から $Q{R}^2=\frac{(1+t^2{)}^3}{4t^2}$ である。$u=t^2$ とおくと $0<u\leqq 1$ であり，$Q{R}^2=\frac{(1+u{)}^3}{4u}$ である。これを $F(u)$ とおくと $F^{\prime }(u)=\frac{(1+u{)}^2(2u-1)}{4u^2}$ である。よって $F(u)$ は $0<u<1/2$ で減少し，$1/2<u\leqq 1$ で増加する。したがって最小は $u=\frac{1}{2}$ で起こる。

このとき $Q{R}^2=\frac{(3/2{)}^3}{4\cdot (1/2)}=\frac{27}{16}$ なので，求める最小値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。

別解。(2)は $s$ の式からも処理できる。$0<t\leqq 1$ より $0<s\leqq 1/\sqrt{2}$ であるから，$QR$ を最小にすることは $s(1-s^2)$ を最大にすることと同じである。$G(s)=s(1-s^2)$ とおくと $G^{\prime }(s)=1-3s^2$ であり，範囲内で最大となるのは $s=1/\sqrt{3}$ のときである。よって $Q{R}_{\min }=\frac{1}{2\cdot (1/\sqrt{3})\cdot (2/3)}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ となる。