京都大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ は正の実数とし，座標平面内の点 $(x_{0}, y_{0})$ は2つの曲線

C_{1} : y = ∣ x^{2} - 1∣, C_{2} : y = x^{2} - 2 a x + 2

の共有点であり， $∣ x_{0} ∣ \neq = 1$ を満たすとする． $C_{1}$ と $C_{2}$ が $(x_{0}, y_{0})$ で共通の接線をもつとき， $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれる部分の面積を求めよ．

出典：京都大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

絶対値のため，接点の位置が $∣ x ∣ > 1$ の枝にあるか， $∣ x ∣ < 1$ の枝にあるかをまず分ける。外側では $C_{1}$ と $C_{2}$ の傾きが一致する条件から $a = 0$ となり， $a > 0$ に反する。内側では $C_{1} : y = 1 - x^{2}$ として，共有点条件と接線の傾き一致を連立し，接点と $a$ を決める。面積は接点からもう一つの交点までだが，途中で $x = 1$ をまたいで $C_{1}$ の式が変わるので，積分を2つに分ける。

解答

$∣ x ∣ > 1$ では $C_{1}$ は $y = x^{2} - 1$ であり，その傾きは $2 x$ である。一方， $C_{2} : y = x^{2} - 2 a x + 2$ の傾きは $2 x - 2 a$ である。共通接線をもつなら $2 x_{0} = 2 x_{0} - 2 a$ となり， $a = 0$ を得る。これは $a > 0$ に反する。したがって接点は外側の枝にはない。

よって接点は $∣ x_{0} ∣ < 1$ にある。この範囲では $C_{1} : y = 1 - x^{2}$ であり，その傾きは $- 2 x$ である。共通接線の条件から $- 2 x_{0} = 2 x_{0} - 2 a$ なので $a = 2 x_{0}$ である。また共有点条件より $1 - x_{0}^{2} = x_{0}^{2} - 2 a x_{0} + 2$ である。ここに $a = 2 x_{0}$ を代入すると $1 - x_{0}^{2} = 2 - 3 x_{0}^{2}$ すなわち $2 x_{0}^{2} = 1$ である。 $a = 2 x_{0} > 0$ より $x_{0} = \frac{1}{2}, a = 2$ である。

このとき $C_{2} : y = x^{2} - 22 x + 2$ である。接点のほかの交点を求める。 $∣ x ∣ < 1$ の枝では接しているだけなので，もう一つの交点は $x > 1$ の枝で生じる。そこで $x^{2} - 1 = x^{2} - 22 x + 2$ を解くと $x = \frac{3}{2 2}$ である。 $1/ 2 ≦ x ≦ 1$ では上側が $C_{2}$ ，下側が $C_{1} : y = 1 - x^{2}$ であり，差は $(x^{2} - 22 x + 2) - (1 - x^{2}) = 2 x^{2} - 22 x + 1$ である。 $1 ≦ x ≦ 3/ (22)$ では下側が $C_{1} : y = x^{2} - 1$ で，差は $(x^{2} - 22 x + 2) - (x^{2} - 1) = 3 - 22 x$ である。したがって求める面積は

\int_{1/ 2}^{1} (2 x^{2} - 22 x + 1) d x + \int_{1}^{3/ (22)} (3 - 22 x) d x

である。第一項は

[\frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x]_{1/ 2}^{1} = \frac{2}{3} - 2 + 1 - \frac{1}{3 2}

であり，第二項は

[3 x - 2 x^{2}]_{1}^{3/ (22)} = \frac{9}{4 2} - 3 + 2

である。これらを合わせると $\frac{23 2}{24} - \frac{4}{3}$ となる。

京都大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

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文系数学第1問