問題
を正の有理数として整式
を考える．すべての正の整数に対しては整数であるとする．このとき，はで割り切れることを示せ．
方針
を一次式 で割り、余りを定数 とする。商を とおくと、仮定より は整数列である。もし なら、 は一次式に を加えた形になる。一次式の2階差は0なので、2階差は の2階差だけであり、これは0でなく、しかも で0に近づく。整数列の2階差も整数であることと矛盾させる。 別解では2階差の代わりに1階差を見て、整数列が有限の極限をもつなら十分先で一定になることから余りを消す。
解答
は一次式であるから、 を で割ると と書ける。ただし は定数であり、 は余りである。
正の整数 に対して とおく。仮定より、すべての で は整数である。一方、上の割り算の式から である。
ここで と仮定して矛盾を導く。整数列 に対して とおくと、 も整数である。一次式 の2階差は0なので である。
右辺を通分する。 とおくと であり、
である。したがって である。
いま は正であり、 と仮定しているので、 はすべての正の整数 で0ではない。また分母は で限りなく大きくなるから である。よって十分大きい では となる。しかし は整数であるから、これは不可能である。
したがって でなければならない。ゆえに であり、 は で割り切れる。
別解。2階差ではなく1階差で矛盾を出すこともできる。同じく と書き、 と仮定する。整数列の差 も整数である。一方、直接計算すると
である。したがって である。
整数列 が実数 に収束するなら、十分大きい では同じ整数 に等しい。実際、幅1未満の区間には整数は高々1つしか入らないからである。よって十分大きい について が成り立つ。すなわち である。しかし右辺は で、 によって値が変わり、しかも に近づく。一定値 と十分先ですべて一致することはできない。これは矛盾である。
したがって であり、やはり は で割り切れる。