問題
空間の中で，を中心とする半径1の球面を考える．点が以外の上の点を動くとき，点と点の2点を通る直線と平面との交点をとおく．の動く範囲を求め，図示せよ．
出典：京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
平面 上の点を と置き、直線 上の点を媒介変数で表す。この直線が球面 と交わることが、ある が存在するための条件である。球面の方程式に代入すると の2次方程式が得られるので、実数解をもつ条件を判別式で表す。逆に判別式が非負なら実際に球面上の点 が取れることも確認し、放物線の内側として図示する。
解答
平面 上で とおく。点 と を通る直線上の点は、媒介変数 を用いて と表される。すなわち である。
この直線が球面 と交われば、その交点を として条件を満たす。代入すると である。展開して整理すると すなわち である。
したがって、直線 が球面と交わる条件は、この2次方程式が実数解をもつことである。判別式は
である。よって条件は であり、すなわち である。
逆に、この不等式を満たす に対しては、上の2次方程式が実数解をもつので、直線 は球面 と交わる。その交点は ではない。なぜなら は より球面上にないからである。また除外された点 は、 と結ぶ直線が平面 と平行で交わらない場合に対応し、ここで有限の としては現れない。
したがって の動く範囲は、平面 上で を満たす部分である。図示すると、平面 を 平面と見たとき、放物線 およびその左側の領域である。