問題
直線が，のグラフとは交わるが，のグラフとは交わらないようなの範囲を図示し，その面積を求めよ．
出典：京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
放物線と直線が交わる条件は、 の判別式で 平面の放物線上側として表す。折れ線 は3区間で直線に分かれる。直線がこの折れ線と交わらないためには、傾きが端の2本の傾きの間にあり、かつ全体で折れ線の下側にある必要がある。得られた領域を と に分けて、上端と下端の差を積分する。
解答
まず、直線 が放物線 と交わる条件を求める。交点の 座標は すなわち の実数解である。したがって判別式が0以上であればよいので である。すなわち である。
次に折れ線を調べる。
である。このグラフは下に凸な折れ線である。直線がこの折れ線と交わらないためには、直線が折れ線の全体で下側にある必要がある。上側にある点があれば、左右の端で折れ線との差が負になるか、または端の直線部分と交わるため、どこかで交点をもつからである。
の部分では、差 が常に負である必要がある。これが可能であるためには であり、さらに で交わらないため が必要である。
では、折れ線は である。直線が下側にある条件は である。これは端点で調べればよく、 である。
の部分では、差 が常に負である必要がある。これが可能であるためには であり、さらに を考えて が必要である。
よって折れ線と交わらない条件は である。放物線と交わる条件と合わせると、求める領域は である。
したがって と に分けると、領域は および である。境界の一部が開いているかどうかは面積に影響しない。
面積 は
である。前半は とおくと
である。後半は なので
である。よって である。