問題
1から20までの目がふられた正20面体のサイコロがあり，それぞれの目が出る確率は等しいものとする．，の2人がこのサイコロをそれぞれ一回ずつ投げ，大きな目を出した方はその目を得点とし，小さな目を出した方は得点を0とする．また同じ目が出た場合は，，ともに得点を0とする．このとき，の得点の期待値を求めよ．
出典：京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
A の得点の期待値を、A が実際に取る点数ごとの寄与に分けて計算する。A の目を と固定すると、A が得点 を得るのは B の目が のいずれかのときだけで、同点は寄与しない。したがって確率 に得点 を掛けて から20まで足す。別解として、勝者の得点の期待値を先に求め、対称性によりAの取り分を半分にする方法も確認する。
解答
A の出した目を とする。A が得点を得るには、B の出した目が A の目より小さい必要がある。同じ目の場合は2人とも0点なので、B の目が の場合は期待値に寄与しない。
A の目が である確率は である。そのとき、B の目が のいずれかである確率は である。したがって、A が得点 を得る確率は である。
よって A の得点の期待値は
である。ここで であり、 である。したがって である。
別解。A と B は同じ規則でサイコロを投げているので、A の期待値と B の期待値は等しい。そこで、2人の得点の合計の期待値を先に求める。大きい方の目が で、同点でない場合、 と の合計 通りがあり、そのとき2人の得点の合計は である。したがって合計得点の期待値は
である。A と B の期待値は等しいから、A の期待値はその半分で となる。