京都大学 2014年度文系数学第4問解答・解説

問題

次の式

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1 (n = 1, 2, 3, \dots)

で定められる数列 ${a_{n}}$ を考える．

(1) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2) 次の不等式

a_{n}^{2} - 2 a_{n} > 10^{15}

を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ．ただし， $0.3010 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ であることは用いてよい．

出典：京都大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

漸化式を $a_{n + 1} - 1 = 2 (a_{n} - 1)$ と直し、 $a_{n} - 1$ が初項1、公比2の等比数列であることから一般項を求める。(2) では $a_{n}^{2} - 2 a_{n} = 2^{2 n - 2} - 1$ と変形し、条件を指数 $2 n - 2$ の大きさに帰着させる。 $n = 25$ では足りないことを与えられた対数の上側評価で示し、 $n = 26$ では $2^{50}$ が $1 0^{15} + 1$ より十分大きいことを示して、最小性を確定する。

解答

(1)

漸化式 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ は、両辺から1を引くと $a_{n + 1} - 1 = 2 (a_{n} - 1)$ となる。ここで $a_{1} - 1 = 1$ であるから、数列 ${a_{n} - 1}$ は初項1、公比2の等比数列である。したがって $a_{n} - 1 = 2^{n - 1}$ であり、 $a_{n} = 2^{n - 1} + 1$ である。

(2)

(1) より

a_{n}^{2} - 2 a_{n} = (2^{n - 1} + 1)^{2} - 2 (2^{n - 1} + 1) = 2^{2 n - 2} + 2^{n} + 1 - 2^{n} - 2 = 2^{2 n - 2} - 1

である。よって求める条件は $2^{2 n - 2} - 1 > 1 0^{15}$ である。

まず $n = 25$ のとき、 $2 n - 2 = 48$ である。与えられた上側の評価を用いると $lo g_{10} 2^{48} = 48 lo g_{10} 2 < 48 \cdot 0.3011 = 14.4528 < 15$ である。したがって $2^{48} < 1 0^{15}$ であり、もちろん $2^{48} - 1 < 1 0^{15}$ である。よって $n = 25$ では条件を満たさない。

次に $n = 26$ のとき、 $2 n - 2 = 50$ である。ここで $2^{50} = (2^{10})^{5} = 102 4^{5} = (1000 + 24)^{5}$ であるから、二項展開の正の第2項まで見れば $2^{50} > 100 0^{5} + 5 \cdot 100 0^{4} \cdot 24 > 1 0^{15} + 1$ が成り立つ。したがって $2^{50} - 1 > 1 0^{15}$ であり、 $n = 26$ は条件を満たす。 $n = 25$ では満たさず、 $n = 26$ では満たすので、求める最小の自然数は $26$ である。

京都大学 2014年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2014年度
文系数学第4問