問題
とする．についての4次方程式
は虚数解を少なくとも1つ持つことを示せ．
出典：京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
4次方程式は2つの2次方程式の積である。虚数解を持たないと仮定すると、両方の2次方程式が実数解だけを持つ必要があるので、それぞれの判別式を調べる。第一の2次式からは 、第二の2次式からは が必要になる。これらを角度範囲に戻し、 を境に矛盾することを示す。
解答
与えられた4次方程式が虚数解を持たないと仮定する。このとき、積を作っている2つの2次方程式 と はいずれも実数解を持たなければならない。
まず、第一の2次方程式の判別式は
である。したがって が必要である。ここで より だから、2次不等式の解から を得る。また であるから となり、 でなければならない。
一方、第二の2次方程式の判別式は である。これが0以上であるためには が必要である。 では だから であり、 となる。
これは先ほど得た と両立しない。よって、2つの2次方程式がともに実数解だけを持つことはできない。したがって、与えられた4次方程式は ことが示された。