京都大学 2013年度
理系数学 第6問

解答

表が出たときの操作を $H$、裏が出たときの操作を $T$ と書く。座標 $x$ は $H:x\mapsto -x,T:x\mapsto 2-x$ と移る。

(1)

2回の出方を調べると $HH:x\mapsto x,TT:x\mapsto x$ であり、$HT:x\mapsto x+2,TH:x\mapsto x-2$ である。したがって2回後に元の座標 $x$ にいるのは $HH,TT$ の2通りである。各通りの確率は $1/4$ なので、求める確率は $\boxed{\frac{1}{2}}$ である。

(2)

2回を1組として考える。1組あたりの移動量は $+2,0,-2$ であり、それぞれの確率は $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$ である。 $2n$ 回の硬貨投げは $n$ 組の移動に対応する。全組が $+2$ なら合計移動量は $2n$ である。目標の座標は $2n-2$ なので、最大値から2だけ小さい。

ここで $-2$ の組が1つでもあると、$+2$ の組に比べて4だけ小さくなるため、目標より下がりすぎる。したがって $-2$ の組はなく、ちょうど1組だけ移動量0、残り $n-1$ 組が移動量 $+2$ でなければならない。

0移動の組を選ぶ方法は $n$ 通りである。よって求める確率は $n\cdot \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=\boxed{\frac{n}{2^{2n-1}}}$ である。

別解。1組の移動量を $+2,0,-2$ と見る代わりに、$+2$ を文字 $z$、0を1、$-2$ を $z^{-1}$ で表すと、1組の確率を含む式は $\frac{1}{4}z+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}{z}^{-1}$ である。$n$ 組で座標 $2n-2$ にいることは、$+2$ の最大合計から1組分だけ足りないこと、すなわち $z^{n-1}$ の係数を見ることに等しい。この係数は、$n$ 個の因子のうち1つから $1/2$、残りから $z/4$ を取る場合だけなので $n\cdot \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$ となり、同じ答えを得る。