京都大学 2013年度
理系数学 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 三角関数、微分
- 解法
- 偶奇性、微分による最大最小、不等式評価
- 難易度
- 5 / 10 計算量 3 / 10 目安 —
問題
−2π≦x≦2πにおけるcosx+43x2の最大値を求めよ．ただしπ>3.1および3>1.7が成り立つことは証明なしに用いてよい．
出典：京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
関数は偶関数なので 0≦x≦π/2 だけを調べる。導関数 F′(x)=−sinx+(3/2)x の符号変化を見るため、2階導関数 F′′(x)=−cosx+3/2 を使う。F′′ は単調増加し、x=π/6 を境に符号が変わるので、F′ は一度下がってから上がる。これにより最大は端点に限られ、最後に与えられた数値評価で F(π/2)>F(0) を確認する。
解答
F(x)=cosx+43x2 とおく。F(x) は偶関数であるから、−π/2≦x≦π/2 における最大値を求めるには 0≦x≦2π だけを調べればよい。
微分すると F′(x)=−sinx+23x であり、さらに F′′(x)=−cosx+23 である。0≦x≦π/2 で cosx は減少するので、F′′(x) は増加する。また
F′′(0)=−1+23<0,F′′(2π)=23>0
である。実際、F′′(x)=0 となるのは cosx=3/2、すなわち x=π/6 のときである。
したがって F′(x) は 0≦x≦π/6 で減少し、π/6≦x≦π/2 で増加する。さらに F′(0)=0 であるから、0<x≦π/6 では F′(x)<0 である。
一方、端で F′(2π)=−1+43π であり、π>3.1、3>1.7 より 43π>41.7⋅3.1>1 だから F′(2π)>0 である。よって F はいったん減少してから増加する形であり、区間内部で最大値をとることはない。最大値は端点 0,π/2 のいずれかである。
端点の値は F(0)=1 であり、
である。与えられた評価より 163π2>161.7⋅(3.1)2>1 であるから、求める最大値は 163π2 である。
