京都大学 2013年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面内で， $y$ 軸上の点 $P$ を中心とする円 $C$ が2つの曲線

C_{1} : y = 3 lo g (1 + x), C_{2} : y = 3 lo g (1 - x)

とそれぞれ点 $A$ ，点 $B$ で接しているとする．さらに $△ P A B$ は $A$ と $B$ が $y$ 軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき3つの曲線 $C$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ で囲まれた部分の面積を求めよ．
ただし、2つの曲線がある点で接するとは、その点を共有し、さらにその点において共通の接線をもつことである。

出典：京都大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

対称性から接点を $A = (s, 3 lo g (1 + s))$ 、 $B = (- s, 3 lo g (1 + s))$ 、中心を $P = (0, p)$ と置く。接線条件は「半径と接線が垂直」という形で使い、正三角形条件は $A B = 2 s$ の高さが $3 s$ であることから使う。この2条件を比較して $s = 2$ を決める。面積は対称性で2倍し、 $0 ≦ x ≦ 2$ において円の下側の弧と $C_{1}$ の差を積分する。

解答

対称性より、接点を $A = (s, 3 lo g (1 + s)), B = (- s, 3 lo g (1 + s))$ とおける。ただし $s > 0$ である。また円の中心を $P = (0, p)$ とおく。

曲線 $C_{1} : y = 3 lo g (1 + x)$ の $x = s$ における接線の傾きは $\frac{3}{1 + s}$ である。一方、半径 $P A$ の傾きは $\frac{3 l o g ( 1 + s ) - p}{s}$ である。接線と半径は垂直だから $\frac{3}{1 + s} \cdot \frac{3 l o g ( 1 + s ) - p}{s} = - 1$ である。よって $p - 3 lo g (1 + s) = \frac{s ( 1 + s )}{3}$ を得る。

また、 $△ P A B$ は正三角形である。底辺 $A B$ の長さは $2 s$ なので、その高さは $3 s$ である。したがって $p - 3 lo g (1 + s) = 3 s$ である。

2つの式を比べると $\frac{s ( 1 + s )}{3} = 3 s$ であり、 $s > 0$ より $1 + s = 3$ となる。したがって $s = 2$ である。このとき $A = (2, 3 lo g 3), P = (0, 3 lo g 3 + 23)$ であり、正三角形の一辺の長さから円の半径は $P A = A B = 4$ である。

求める領域は $y$ 軸に関して対称である。 $0 ≦ x ≦ 2$ では、円の下側の弧は $y = 3 lo g 3 + 23 - 16 - x^{2}$ であり、下側の境界は $C_{1}$ である。したがって面積 $S$ は

S = 2 \int_{0}^{2} {3 lo g 3 + 23 - 16 - x^{2} - 3 lo g (1 + x)} d x

である。

まず $2 \int_{0}^{2} (3 lo g 3 + 23) d x = 43 lo g 3 + 83$ である。また $\int_{0}^{2} 16 - x^{2} d x = 23 + \frac{4 π}{3}$ だから $2 \int_{0}^{2} 16 - x^{2} d x = 43 + \frac{8 π}{3}$ である。さらに $\int_{0}^{2} lo g (1 + x) d x = [(1 + x) lo g (1 + x) - (1 + x)]_{0}^{2} = 3 lo g 3 - 2$ なので $23 \int_{0}^{2} lo g (1 + x) d x = 63 lo g 3 - 43$ である。

以上より

S = 43 lo g 3 + 83 - (43 + \frac{8 π}{3}) - (63 lo g 3 - 43)

$= 83 - 23 lo g 3 - \frac{8 π}{3}$ である。

京都大学 2013年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

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理系数学第5問