京都大学 2012年度
文系数学 第5問

解答

まず $a=b$ の場合を考える。このとき $\cos a\theta =\cos b\theta$ はすべての $\theta$ で成り立つので、条件(＊)の「ちょうど1つ」を満たさない。以下では $a\ne b$ とする。

一般に $\cos A=\cos B$ は $A-B=2m\pi \text{または}A+B=2m\pi$ となることと同値である。ただし $m$ は整数である。したがって $\cos a\theta =\cos b\theta$ の解は $(a-b)\theta =2m\pi$ または $(a+b)\theta =2m\pi$ から得られる。

まず $a+b$ 側を見る。$a+b>0$ であり、正の解は $\theta =\frac{2m\pi }{a+b}(m=1,2,3,\dots )$ である。これが $0<\theta \leqq \pi$ に入る条件は $\frac{2m\pi }{a+b}\leqq \pi$ すなわち $2m\leqq a+b$ である。したがって、ここから出る解がちょうど1個であるためには $2\leqq a+b<4$ が必要十分である。

次に $|a-b|$ 側を見る。$a\ne b$ なので $|a-b|>0$ であり、正の解は $\theta =\frac{2m\pi }{|a-b|}(m=1,2,3,\dots )$ である。これが1つでも $0<\theta \leqq \pi$ に入るのは $2\leqq |a-b|$ のときである。全体の解をちょうど1つにするには、$|a-b|$ 側からは解が出てはいけない。したがって $|a-b|<2$ が必要である。

逆に $a>0,b>0,a\ne b,2\leqq a+b<4,|a-b|<2$ が成り立つとする。このとき $a+b$ 側からは $\theta =\frac{2\pi }{a+b}$ だけが $0<\theta \leqq \pi$ に入る。一方、$|a-b|<2$ なので $|a-b|$ 側からは解が出ない。よって条件(＊)を満たす。

したがって求める範囲は $\boxed{a>0,b>0,a\ne b,2\leqq a+b<4,|a-b|<2}$ である。

図示すると、第1象限で、直線 $a+b=2$ 上を含み、直線 $a+b=4$ 上を含まない帯状部分のうち、2直線 $a-b=2,b-a=2$ の内側にある部分である。ただし直線 $a=b$ 上の点は除く。