問題
次の各問に答えよ．
(1) 2つの曲線ととによって囲まれる図形の面積を求めよ．
(2) を3以上の整数とする．1からまでの番号をつけた枚の札の組が2つある．これら枚の札をよく混ぜ合わせて，札を1枚ずつ3回取り出し，取り出した順にその番号を，，とする．となる確率を求めよ．ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする．
方針
(1)は2曲線の交点を求め、区間内でどちらが上にあるかを確認して上下差を積分する。偶関数なので の2倍にすると計算が安定する。(2)は「同じ番号の札が2枚ある」ため、番号だけでなく物理的な札を区別して順序つきに数える。全事象は 通りで、好ましい場合は3つの異なる番号を選び、それらが小さい順に出る順序だけを取り、さらに各番号について2枚のどちらが出たかを選ぶ。
解答
(1)
2曲線の交点を求める。交点では である。 とおくと すなわち である。 だから であり、交点の 座標は である。 では、たとえば で 、 なので、上側は 、下側は である。したがって求める面積 は である。被積分関数は偶関数なので となる。計算すると である。ここで 、 より
である。よって である。
(2)
札そのものを区別して考える。2組あるので、番号 の札は2枚あるが、物理的には別の札として数える。
3回取り出し、戻さないので、全事象の数は である。 となるには、まず3つの番号がすべて異ならなければならない。その3つの番号を小さい順に とすると、取り出した順序は必ず でなければならない。3つの番号の選び方は 通りである。
さらに、それぞれの番号について同じ番号の札が2枚ずつあるので、実際にどちらの札を取り出すかは 通りある。よって好ましい取り出し方は 通りである。
したがって求める確率は である。これを整理すると
である。よって である。