京都大学 2009年度
文系数学 第4問

解答

$\theta =\angle AOB$ とおく。$△OAB$は鋭角三角形なので $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ である。 $△OAB$を辺$OB$に関して折り返すと，点$A$は点$C$に移る。したがって $OC=OA,\angle BOC=\angle AOB=\theta$ である。次に，$△OBC$を辺$OC$に関して折り返すと，点$B$は点$D$に移るので $OD=OB,\angle COD=\angle BOC=\theta$ である。さらに，$△OCD$を辺$OD$に関して折り返すと，点$C$は点$E$に移るので $OE=OC=OA,\angle DOE=\angle COD=\theta$ である。

したがって，点$B,C,D,E$の方向は，$O$を中心に角$\theta$ずつ進んでいく。よって $\angle BOE=3\theta$ である。

三角形の面積を正弦で表すと $[△OAB]=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin \theta$ であり，$[△OBE]=\frac{1}{2}OB\cdot OE|\sin 3\theta |$ である。$OE=OA$より

である。条件は$[△OAB]:[△OBE]=2:3$なので $\frac{|\sin 3\theta |}{\sin \theta }=\frac{3}{2}$ である。 $0<\theta <\pi /2$より$\sin \theta >0$である。三倍角の公式 $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ を用いると $\left|3-4{\sin }^2\theta \right|=\frac{3}{2}$ である。

ここで $3-4{\sin }^2\theta =\frac{3}{2}$ なら ${\sin }^2\theta =\frac{3}{8}$ である。一方 $3-4{\sin }^2\theta =-\frac{3}{2}$ なら ${\sin }^2\theta =\frac{9}{8}$ となり不可能である。よって ${\sin }^2\theta =\frac{3}{8}$ であり，$\sin \theta >0$だから $\boxed{\sin \angle AOB=\frac{\sqrt{6}}{4}}$ である。