京都大学 2009年度文系数学第2問解答・解説

問題

整式 $f (x)$ と実数 $C$ が

\int_{0}^{x} f (y) d y + \int_{0}^{1} (x + y)^{2} f (y) d y = x^{2} + C

をみたすとき，この $f (x)$ と $C$ を求めよ．

出典：京都大学 2009年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

右辺が $x$ の2次式なので，まず両辺を $x$ で微分し，未知の定積分を定数として扱う。 $A = \int_{0}^{1} f (y) d y$ ， $B = \int_{0}^{1} y f (y) d y$ と置くと，微分後の式から $f (x)$ が1次式であることが分かる。そこで $f (x) = p x + q$ とおき， $A, B$ を $p, q$ で表して係数比較する。最後に $x = 0$ を代入して $C = \int_{0}^{1} y^{2} f (y) d y$ を計算する。

解答

A = \int_{0}^{1} f (y) d y, B = \int_{0}^{1} y f (y) d y, D = \int_{0}^{1} y^{2} f (y) d y

とおく。すると $\int_{0}^{1} (x + y)^{2} f (y) d y = x^{2} A + 2 x B + D$ であるから，与えられた等式は $\int_{0}^{x} f (y) d y + x^{2} A + 2 x B + D = x^{2} + C$ と書ける。

両辺を $x$ で微分すると $f (x) + 2 x A + 2 B = 2 x$ である。したがって $f (x) = 2 (1 - A) x - 2 B$ となり， $f (x)$ は1次式である。

そこで $f (x) = p x + q$ とおく。このとき

A = \int_{0}^{1} (p y + q) d y = \frac{p}{2} + q, B = \int_{0}^{1} y (p y + q) d y = \frac{p}{3} + \frac{q}{2}

である。また微分後の式 $f (x) + 2 x A + 2 B = 2 x$ に $f (x) = p x + q$ を代入して係数を比較すると $p + 2 A = 2, q + 2 B = 0$ である。すなわち

p + 2 (\frac{p}{2} + q) = 2, q + 2 (\frac{p}{3} + \frac{q}{2}) = 0

である。整理すると $p + q = 1, q = - \frac{p}{3}$ となる。よって $p - \frac{p}{3} = 1, p = \frac{3}{2}, q = - \frac{1}{2}$ である。したがって $f (x) = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$ である。

次に $C$ を求める。元の式に $x = 0$ を代入すると $0 + \int_{0}^{1} y^{2} f (y) d y = C$ である。したがって

C = \int_{0}^{1} y^{2} (\frac{3}{2} y - \frac{1}{2}) d y = [\frac{3}{8} y^{4} - \frac{1}{6} y^{3}]_{0}^{1} = \frac{3}{8} - \frac{1}{6} = \frac{5}{24}

である。

京都大学 2009年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

京都大学 2009年度
文系数学第2問