問題
次の各問にそれぞれ答えよ．
問1 空間上の2点，を通る直線に点から下ろした垂線の足の座標を求めよ．
問2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える．取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し，そうでないときは「失敗」とし，取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする．最初に白球が2個，赤球が1個袋に入っていたとき，回まで失敗し回目に成功する確率を求めよ．ただしとする．
出典：京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
問1は直線をと表し，垂線の足ではが直線の方向ベクトルと直交することを内積で使う。問2は失敗しても白球2個は袋に戻り，赤球だけが1個増えることをまず確認する。回目直前には白球2個，赤球個，合計個であるから，各回の失敗確率と最後の成功確率を掛ける。積はとに分けて望遠的に約分する。
解答
問1
直線の方向ベクトルは である。垂線の足は直線上にあるので，実数を用いて と表せる。すなわち である。 が直線に垂直であるから である。ここで なので
である。よって となる。したがって である。
問2
最初は白球2個，赤球1個である。失敗した場合，取り出した2個を袋に戻し，さらに赤球を1個加えるので，白球の個数は常に2個のままで，失敗するたびに赤球が1個増える。
したがって回目の試行の直前には，白球が2個，赤球が個，合計個入っている。回目に成功する確率は，白球2個を同時に取り出す確率なので
である。よって回目に失敗する確率は
である。
求める確率は，1回目から回目まで失敗し，回目に成功する確率であるから である。この積を
と分けると
である。したがって求める確率は
である。