問題
空間内に原点を中心とし半径1の球面を考え，上の2点を，とする．で与えられる平面でを切った切り口の円において，とを結ぶ弧のうち短い方の長さをとする．また3点，，を通る平面でを切った切り口の円において，とを結ぶ弧のうち短い方の長さをとする．このときを証明せよ．
出典：京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
は平面 による小円上の弧長であり，その小円の半径は である。 の平面内での中心角を求めると なので となる。一方， を通る平面による切り口は半径1の大円であり， は と の中心角に等しい。内積から を求め， と比較する。
解答
平面 で単位球面を切ると，切り口の円の中心は であり，半径は である。
この平面内で，中心から と へ向かうベクトルは， 成分だけを見れば
である。これらの内積は ，それぞれの長さは なので，中心角 は を満たす。短い方の弧なので であり， である。
次に，3点 を通る平面は原点を通るので，球面との切り口は半径1の大円である。したがって は，単位ベクトル と のなす中心角に等しい。内積を計算すると
よって である。
一方 であり，
より である。 で余弦は減少するから， となる。したがって が示された。
別解。2点 の空間内での直線距離は
である。半径 の円で弦長が の短い弧の長さは である。小円では なので 。大円では なので である。ここで であり， では正弦が増加するから， である。したがって と比較してもよい。