京都大学 2008年度理系数学第5問解答・解説

問題

次の式で与えられる底面の半径が2，高さが1の円柱 $C$ を考える．

C = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} ≦ 4, 0 ≦ z ≦ 1}

$x y$ 平面上の直線 $y = 1$ を含み， $x y$ 平面と $4 5^{\circ}$ の角をなす平面のうち，点 $(0, 2, 1)$ を通るものを $H$ とする．円柱 $C$ を平面 $H$ で二つに分けるとき，点 $(0, 2, 0)$ を含む方の体積を求めよ．

出典：京都大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

平面 $H$ は直線 $y = 1, z = 0$ を含むので $z = m (y - 1)$ と書ける。 $x y$ 平面となす角が $4 5^{\circ}$ で，点 $(0, 2, 1)$ を通ることから $m = 1$ ，すなわち $z = y - 1$ である。点 $(0, 2, 0)$ が属する側は $z ≦ y - 1$ なので，円柱内では $1 ≦ y ≦ 2$ の部分だけが寄与し，高さは $y - 1$ になる。あとは底面円の横幅 $2 4 - y^{2}$ を掛けて積分する。

解答

平面 $H$ は $x y$ 平面上の直線 $y = 1$ ，すなわち $y = 1, z = 0$ を含む。したがって $H$ は $z = m (y - 1)$ の形で表せる。

この平面と $x y$ 平面のなす角は $4 5^{\circ}$ である。 $y, z$ 平面で見ると，直線 $z = m (y - 1)$ と $z = 0$ のなす角が $4 5^{\circ}$ であり，さらに点 $(0, 2, 1)$ を通るので $1 = m (2 - 1)$ から $m = 1$ である。よって $H : z = y - 1$ である。

点 $(0, 2, 0)$ は $0 < 2 - 1$ を満たすので，求める側は $z ≦ y - 1$ である。円柱 $C$ では $0 ≦ z ≦ 1$ でもあるから，この側に含まれる高さは， $y - 1$ が正になる $1 ≦ y ≦ 2$ において $0 ≦ z ≦ y - 1$ である。 $y = 2$ でも高さは $1$ で，円柱の上面を超えない。

底面円 $x^{2} + y^{2} ≦ 4$ において，固定した $y$ に対する $x$ の幅は $- 4 - y^{2} ≦ x ≦ 4 - y^{2}$ より $2 4 - y^{2}$ である。したがって求める体積 $V$ は $V = \int_{1}^{2} 2 4 - y^{2} (y - 1) d y$ である。

これを計算する。

V = \int_{1}^{2} 2 y 4 - y^{2} d y - \int_{1}^{2} 2 4 - y^{2} d y .

第1項は

\int_{1}^{2} 2 y 4 - y^{2} d y = [- \frac{2}{3} (4 - y^{2})^{3/2}]_{1}^{2} = 23

である。第2項については，半径2の円の面積公式から $\int 2 4 - y^{2} d y = y 4 - y^{2} + 4 arcsin \frac{y}{2}$ であるから，

\int_{1}^{2} 2 4 - y^{2} d y = [y 4 - y^{2} + 4 arcsin \frac{y}{2}]_{1}^{2} = 2 π - (3 + \frac{2 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - 3 .

よって $V = 23 - (\frac{4 π}{3} - 3) = 33 - \frac{4 π}{3}$ である。

京都大学 2008年度理系数学 第5問

問題

方針

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理系数学第5問